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求一个等比数例之和， 并让他对一个数取模。
用到等比数列求和公式， 快速幂， 逆元。
不会证明， 下面给出代码。
#include#include #include typedef long long ll;ll multi(ll a,ll b,ll m) // 二分乘法{ ll ans = 0; a %= m; while(b) { if(b & 1) { ans = (ans + a) % m; b--; } b >>= 1; a = (a + a) % m; } return ans;}ll quick_mod(ll a,ll b,ll mod){ ll res = 1; while(b) { if(b % 2 == 1) res = multi(res, a, mod); // 二分乘法 不然会数据溢出 b >>= 1; a = multi(a, a, mod); // 二分乘法 不然会数据溢出 } return res;}int main(){ ll a, b, mod=9901; scanf("%I64d %I64d",&a, &b); // 首项为 1 ， 公比为 a，长度 为 b 的等比数例求和 printf("%I64d\n",((quick_mod(a,b,mod*(a-1)) - 1) / (a-1))); return 0;}
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Description
Consider two natural numbers A and B. Let S be the sum of all natural divisors of A^B. Determine S modulo 9901 (the rest of the division of S by 9901).
Input
The only line contains the two natural numbers A and B, (0 <= A,B <= 50000000)separated by blanks.
Output
The only line of the output will contain S modulo 9901.
Sample Input
2 3
Sample Output
15
Hint
2^3 = 8.
The natural divisors of 8 are: 1,2,4,8. Their sum is 15.15 modulo 9901 is 15 (that should be output).
思路： 举一个例子： 36， 1。
先把 36 分解成质因数， 2， 2，3， 3。
ans = 1 , 2, 2*2, 1*（3 + 3*3）, 2 * (3 + 3*3) , 2*2 *(3 * 3). 之和。
#include#include #include typedef long long ll;int p[10005];void prime() // 打一个素数表{ p[1] = 2; int cnt = 1; for(int i=3; i<=10000; i+=2) { int flag = true; for(int j=2; j*j<=i; j++) { if(i%j == 0) { flag = false; break; } } if(flag) p[++cnt] = i; }}ll multi(ll a,ll b,ll m) // 二分乘法{ ll ans = 0; a %= m; while(b) { if(b & 1) { ans = (ans + a) % m; b--; } b >>= 1; a = (a + a) % m; } return ans;}ll quick_mod(ll a,ll b,ll mod) // 快速幂{ ll res = 1; while(b) { if(b % 2 == 1) res = multi(res, a, mod); b >>= 1; a = multi(a, a, mod); } return res;}int main(){ ll a, b, mod=9901; scanf("%I64d %I64d",&a, &b); if(a == 1) { printf("1\n"); return 0; } prime(); ll ans = 1; int num = 0; for(int i=1; p[i]*p[i]<=a; i++) { if(a % p[i] == 0) // 寻找每个质因数 和 它的数量 num。 { num=0; while(a % p[i] == 0) { num++; a /= p[i]; } ll m =(p[i] - 1) * mod; ans *= ((quick_mod(p[i], num*b+1, m) + m - 1) / (p[i]-1)); // 等比数列求和 // printf("%lld\n",(quick_mod(p[i], num*b+1, m) + m - 1) / (p[i]-1) % mod); ans %= mod; } } ll m = mod * (a - 1); if(a > 1) printf("%I64d\n",ans * ((quick_mod(a, b+1, m) + m - 1) / (a-1)) % mod); else printf("%I64d\n",ans % mod); return 0;}
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